Distribusi Normal

Suatu peubah acak kontinu X yang memiliki sebaran berbentuk genta seperti pada Gambar 1. disebut peubah acak normal. Persamaan matematik bagi sebaran peluang peubah acak normal ini bergantung pada dua parameter µ dan σ, yaitu nilai tengah dan simpangan bakunya. Oleh karena itu kita lambangkan nilai fungsi kepekatan bagi X ini dengan n(x; µ, σ).

Sedangkan dalam hal ini π = 3,14159... dan e = 2,71828...

Gambar 1. Kurva Normal

              Bila nilai-nilai µ dan σ diketahui, maka kurva normal itu telah tertentu dengan pasti. Misalnya, bila µ = 50 dan σ = 5, maka ordinat-ordinat n(x; 50, 5) dengan mudah dapat dihitung untuk berbagai nilai x, dan kemudian kurvanya dapat digambar. Dalam Gambar 2. diberikan sketsa dua kurva normal yang mempunyai simpangan baku yang sama tetapi nilai tengah yang berbeda. Kedua kurva itu sama bentuknya tetapi berpusat pada posisi yang berbeda sepanjang sumbu mendatar.

Gambaar 2. Dua Kurva Normal dengan µ₁ µ₂ tetapi σ₁ = σ₂

              Dalam Gambar 3. diberikan sketsa dua kurva normal dengan nilai tengah yang sama tetapi simpangan bakunya berbeda. Di sini kita melihat bahwa kedua kurva itu berpusat pada posisi yang sama pada sumbu mendatar, tetapi kurva dengan simpangan baku yang lebih besar berada lebih rendah dan lebih menyebar ke samping. Ingat bahwa luas daerah di bawah suatu kurva peluang harus sama dengan 1, oleh karena itulah semakin beragam suatu gugus pengamatan, maka kurvanya menjadi lebih rendah dan lebih melebar.

Gambar 3. Dua Kurva Normal dengan µ₁ = µ₂ tetapi σ₁< σ₂

              Kurva normal standar adalah kurva normal yang sudah diubah menjadi distribusi nilai Z, dimana distribusi tersebut akan mempunyai Q = 0 dan standar deviasi W = 1. Grafik distribusi normal tergantung pada dua faktor, yaitu nilai rata-rata (mean) dan standar deviasi. Mean dari distribusi menentukan lokasi pusat grafik, dan standar deviasi menentukan tinggi dan lebar grafik.

              Gambar 4. menunjukkan sketsa dua kurva normal yang mempunyai nilai tengah dan simpangan baku yang berbeda. Jelas, bahwa keduanya berpusat pada posisi yang berbeda pada sumbu mendatar dan bangun kedua kurva itu mencerminkan kedua nilai σ yang berbeda.

Gambar 4. Dua Kurva Normal dengan µ₁ µ₂ tetapi σ₁< σ₂

Dari pengamatan terhadap Gambar 1. sampai Gambar 4. diperoleh sifat-sifat kurva normal berikut ini:

1.      Modus, titik pada sumbu mendatar yang memberikan maksimum kurva, terdapat pada x = µ.

2.      Kurvanya setangkup terhadap suatu garis tegak yang melalui rataan µ.

3.      Kurva mempunyai titik belok pada x = µ cekung dari bawah bila µ-σ µ+σ, dan cekung dari atas untuk nilai x lainnya.

4.      Kedua ujung kurva normal mendekati asimtot sumbu datar bila nilai x bergerak menjauhi µ baik ke kiri maupun ke kanan.

Seluruh luas daerah di bawah kurva dan di atas sumbu datar sama dengan 1.