Konsultan Statistik (HP/WA 0812-6080-8620): Distribusi Distrik

1. Distribusi Seragam[1]

Di antara semua sebaran peluang diskrit, yang paling sederhana adalah sebaran seragam diskrit. Dalam distribusi ini, setiap nilai peubah acak mempunyai peluang terjadi yang sama. Distribusi seragam disebut juga distribusi uniform.

Distribusi seragam diskrit adalah distribusi di mana peubah acak X mempunyai nilai-nilai x₁, x₂, …, x_k, dengan peluang yang sama, maka distribusi seragam diskritnya diberikan oleh:

Parameter untuk distribusi seragam, yaitu banyak kelas.

Sajian grafik histogram bagi distribusi seragam selalu berupa beberapa tempat persegi panjang dengan tinggi yang sama, diperlihatkan pada Gambar 1.

Gambar 1. Histogram Sebaran Seragam

2. Distribusi Binomial

Suatu percobaan sering kali terdiri atas ulangan-ulangan dan masing-masing mempunyai dua kemungkinan hasil yang dapat diberi nama berhasil atau gagal. Bila suatu ulangan binom mempunyai peluang keberhasilan p dan peluang kegagalan q = 1 - p, maka sebaran peluang bagi peubah acak binom X, yaitu banyaknya keberhasilan dalam n ulangan yang bebas, adalah:

Percobaan binom adalah percobaan yang memiliki ciri-ciri berikut:

1. Percobaannya terdiri atas n ulangan.

2. Dalam setiap ulangan, hasilnya dapat digolongkan sebagai berhasil atau gagal.

3. Peluang berhasil, yang dilambangkan dengan p, untuk setiap ulangan adalah sama, tidak berubah-ubah.

4. Ulangan-ulangan itu bersifat bebas satu sama lain.

[2]Perhatikan sebuah eksperimen yang hanya menghasilkan dua peristiwa A dan bukan A atau P, dengan P(A) peluang terjadinya peristiwa A. Jika pada tiap percobaan dalam eksperimen itu, π = P(A) tetap harganya, maka percobaan yang berulang-ulang dari eksperimen itu dinamakan percobaan Bernouli. Sekarang lakukan percobaan Bernoulli sebanyak N kali secara independen, X diantaranya menghasilkan peristiwa A dan sisanya (N—‘X) peristiwa. Jika π = P(A) untuk tiap percobaan, jadi 1- π = P(A), maka peluang terjadinya peluang A sebanyak X = x kali di antara N, dihitung oleh:

Gambar 2. Grafik Binomial

3. Distribusi Hypergeometric

Distribusi hipergeometrik dapat diterapkan dalam bidang penerimaan sampel dan pengendalian kualitas produk. Pengujian produk industri dilakukan sampai produk tersebut dinyatakan dalam keadaan rusak atau baik, yang dengan demikian produk yang diuji tidak dapat dikembalikan sebagai sampel.

Distribusi hipergeometrik bercirikan dua sifat berikut.

1. Suatu contoh acak berukuran n diambil dari populasi yang berukuran N.

2. k dari N benda diklasifikasikan sebagai berhasil dan N – k benda diklasifikasikan sebagai gagal.

Banyaknya sukses X dalam percobaan hipergeometrik disebut peubah acak hipergeometrik. Karena itu, distribusi peluang peubah acak hipergeometrik disebut distribusi hipergeometrik dan nilainya dinyatakan dengan h(x; N, n, k), karena nilainya tergantung pada banyaknya yang sukses k dalam n barang yang dipilih secara acak dari sebanyak N.

Bila dalam populasi N benda, k benda di antaranya diberi label “berhasil” dan N – k benda lainnya diberi label “gagal”, maka sebaran peluang bagi peubah acak hipergeometrik X, yang menyatakan keberhasilan dalam contoh acak berukuran n, adalah:

Parameter dari distribusi ini adalah banyak sampel percobaan (n), jumlah populasi dan peluang keberhasilan dalam populasi (k).

[3]Misalkan ada sebuah populasi berukuran N di antaranya terdapat D buah termasuk kategori tertentu. Dari populasi ini sebuah sampel acak diambil berukuran n. Pertanyaan yang timbul ialah: berapa peluang dalam sampel itu terdapat x buah termasuk kategori tertentu itu? Jawabannya ditentukan oleh distribusi hipergeometrik di bawah ini.

Gambar 3. Grafik Hipergeometrik

4. Distribusi Binom Negative

Percobaan binom negatif mempunyai ciri yang sama dengan percobaan binom, kecuali bahwa ulangan diulang terus sampai terjadi keberhasilan dengan jumlah tertentu. Jadi, daripada menentukan peluang x keberhasilan dalam n ulangan, dengan n telah ditetapkan terlebih dahulu, maka sekarang dengan peluang bahwa keberhasilan ke-k terjadi pada ulangan ke-x. Bilangan x yang menyatakan banyaknya ulangan yang menghasilkan keberhasilan dalam suatu percobaan binom negatif disebut peubah acak binom negatif, sedangkan sebaran peluangnya disebut distribusi binom negatif.

Bila ulangan yang saling bebas dan dilakukan berulang kali menghasilkan sukses dengan peluang p sedangkan gagal dengan peluang q = 1 – p, maka distribusi peluang peubah acak X, yaitu banyaknya usaha yang berakhir tepat pada sukses ke k, diberikan oleh :

Untuk k = 1, distribusi binom negatif itu akan menghasilkan sebaran peluang bagi banyaknya ulangan yang diperlukan sampai diperolehnya satu keberhasilan.

Gambar 4. Grafik Binom Negatif

5. Distribusi Geometric

Bila usaha yang saling bebas dan dilakukan berulang kali menghasilkan sukses dengan peluang p, gagal dengan peluang q = 1-p, maka distribusi peluang peubah acak X, yaitu banyaknya usaha sampai saat terjadi sukses yang pertama, diberikan oleh :

g (x; p) = pq^x-1, untuk x = 1,2,3,….

Secara konsep, distribusi geometrik mewakili sebuah percobaan random yang dengan prinsip sebagai berikut.

1. Percobaan terdiri atas n usaha yang saling independen.

2. Tiap usaha hanya terdiri dari dua

3. kejadian yang mungkin, sukses atau gagal.

4. Probabilitas tiap sukses untuk tiap usaha adalah tetap, yaitu p (dimana probabilitas gagal adalah q = 1 – p).

5. Variabel random yang menyatakan banyaknya usaha agar terjadi sukses pertama merupakan variabel random geometris.

Gambar 5. Distribusi Geometrik

6. Distribusi Poisson

Percobaan yang menghasilkan nilai-nilai bagi suatu peubah acak X, yaitu banyaknya hasil percobaan yang terjadi selama selang waktu tertentu atau di suatu daerah tertentu, sering disebut percobaan. Panjang selang waktu tersebut dapat berupa sedetik, semenit, sejam, sehari, seminggu maupun sebulan. Sedangkan daerah tertentu dapat berupa satu meter, satu kilometer persegi, dan lain-lain.

Percobaan Poisson memiliki ciri-ciri sebagai berikut:

1. Banyaknya hasil percobaan yang terjadi dalam suatu selang waktu atau suatu daerah tertentu tidak bergantung pada banyaknya hasil percobaan yang terjadi pada selang waktu atau daerah lain yang terpisah.

2. Peluang terjadinya suatu hasil percobaan selama suatu selang waktu yang sangat singkat atau dalam daerah yang kecil sebanding dengan panjang selang waktu tersebut atau besarnya daerah tersebut dan tidak tergantung pada banyaknya hasil percobaan yang terjadi di luar selang waktu atau daerah tersebut.

3. Peluang terjadinya lebih dari satu hasil percobaan akan terjadi dalam selang waktu yang singkat atau daerah yang sempit tersebut dapat diabaikan.

Distribusi Poisson hanya bergantung pada µ, yaitu rata-rata banyaknya hasil percobaan yang terjadi selama selang waktu atau daerah yang diberikan. Distribusi peluang bagi peubah acak Poisson X, yang menyatakan banyaknya hasil percobaan yang terjadi selama suatu selang waktu atau daerah tertentu adalah:

Dimana menyatakan rata-rata banyaknya hasil percobaan yang terjadi per satuan waktu atau dalam daerah tertentu tersebut, dan e = 2,71828.

Gambar 6. Distribusi Poisson

7. Distribusi Bernoulli[4]

Eksperimen Bernoulli adalah salah satu serangkaian eksperimen yang hanya dan jika hanya percobaannya terdiri atas percobaan Binomial. Didalam statistik selalu dinyatakan bahwa salah satu dari kedua hasil tiap percobaannya dengan istilah “sukses” atau S dan “gagal” atau G. Suatu eksperimen dikatakan eksperimen Bernoulli jika dan hanya jika mempunyai ciri-ciri:

a. Setiap percobaan diklasifikasikan sukses atau gagal

b. Probabilitas sukses tiap percobaan harus sama

c. Haruslah independen

Percobaan yang dilakukan independen artinya bahwa hasil dari suatu percobaan tidak mempengaruhi percobaan selanjutnya dengan parameter distribusi yaitu peluang sukses.